Як знайти розв’язання

1. Перепиши вираз охайно. Постав дужки так, щоб було видно, де «функція від функції» (наприклад, (… )^n, sin(… ), ln(… )).
2. Знайди зовнішню та внутрішню функції. Познач внутрішню як u(x), а весь вираз запиши як f(u).
3. Візьми похідну зовнішньої функції. Диференціюй f(u) за правилом, ніби u — це просто змінна.
4. Помнож на похідну внутрішньої. Знайди u'(x) і допиши множник: f'(u)·u'(x) — це і є правило ланцюга.
5. Перевір знаки та спростіть відповідь. Особливо уважно зі «мінусами», коефіцієнтами та степенями; за потреби винеси спільний множник.

Приклади

• y = (3x − 2)^5 — внутрішня функція u = 3x − 2, зовнішня f(u) = u^5. Спочатку (u^5)' = 5u^4, потім u' = 3. Отже, y' = 5(3x − 2)^4 · 3 = 15(3x − 2)^4. Діти часто пишуть просто 5(3x − 2)^4 і забувають помножити на 3, але правильніше завжди додавати u'.
• y = √(x^2 + 1) — це y = (x^2 + 1)^(1/2). Внутрішня u = x^2 + 1, зовнішня f(u) = u^(1/2). Маємо f'(u) = (1/2)u^(−1/2), а u' = 2x. Тоді y' = (1/2)(x^2 + 1)^(−1/2) · 2x = x/√(x^2 + 1).
• y = 1/(2x + 5) — зручно переписати як y = (2x + 5)^(−1). Внутрішня u = 2x + 5, зовнішня u^(−1). Похідна зовнішньої: (u^(−1))' = −u^(−2). Похідна внутрішньої: u' = 2. Отже, y' = −(2x + 5)^(−2) · 2 = −2/(2x + 5)^2. Діти часто гублять «мінус» або квадрат у знаменнику, але правильніше пам’ятати: степінь −1 після похідної стає −2.
• y = sin(4x) — внутрішня u = 4x, зовнішня sin(u). Похідна зовнішньої: (sin u)' = cos u. Далі u' = 4. Отже, y' = cos(4x) · 4 = 4cos(4x). Типова помилка: написати cos(4x) без множника 4, але правило ланцюга вимагає домножити на похідну того, що в дужках.
• y = e^(x^2 − 3x) — внутрішня u = x^2 − 3x, зовнішня e^u. Похідна зовнішньої: (e^u)' = e^u. Похідна внутрішньої: u' = 2x − 3. Тоді y' = e^(x^2 − 3x) · (2x − 3).
• y = ln(5 − x^3) — внутрішня u = 5 − x^3, зовнішня ln(u). Похідна зовнішньої: (ln u)' = 1/u. Похідна внутрішньої: u' = −3x^2. Отже, y' = (1/(5 − x^3)) · (−3x^2) = −3x^2/(5 − x^3). Діти часто беруть u' як 3x^2 без мінуса, але правильніше врахувати, що похідна від −x^3 дає −3x^2.

Стратегії для тренування

• Підкреслюй внутрішню функцію u(x) у кожному прикладі та спочатку знаходь лише u'(x), а вже потім — усе інше.
• Тренуйся переписувати дроби й корені у вигляді степенів: так правило ланцюга застосовувати простіше.
• Після відповіді роби «швидку перевірку»: чи з’явився множник від того, що було в дужках? якщо ні — шукай, де загубив u'.
• Збирай типові формули в один список (sin, cos, ln, e^x, степінь) і повторюй їх перед тренуванням 2–3 хвилини.

Самоперевірка

• Чи можу я чітко назвати внутрішню функцію u(x) у цьому виразі?
• Чи взяв/взяла я похідну зовнішньої функції правильно (степінь, sin, ln, e^…)?
• Чи домножив/домножила я на u'(x)?
• Чи не загубив/загубила мінус або коефіцієнт у похідній внутрішньої?
• Чи спростив/спростила я відповідь настільки, щоб вона була зручною для перевірки?

Уміння знаходити похідну складених функцій — це одна з ключових навичок для ЗНО/НМТ, бо саме такі вирази найчастіше трапляються в тестах і «ловлять» на неуважності.

Коли ти автоматично бачиш зовнішню та внутрішню функції й не забуваєш множник u'(x), приклади з дужками, коренями, дробами, тригонометрією та логарифмами стають передбачуваними й набагато легшими.