Як знайти розв’язання

1. Визнач тип виразу. Подивись, що перед тобою: степенева функція, сума/різниця, тригонометричний вираз, показникова або щось, що треба трохи спростити.
2. Застосуй відповідну формулу первісної. Користуйся таблицею: для x^n, sin x, cos x, e^x тощо. Якщо вираз — сума, знаходь первісну для кожного доданка окремо.
3. Не забудь про коефіцієнти та знаки. Число перед функцією просто “переїжджає” перед первісною, а мінус залишається мінусом.
4. Додай сталу інтегрування. Наприкінці обов’язково допиши + C, бо первісних нескінченно багато.
5. Перевір себе похідною. Швидко продиференціюй отриману F(x): якщо F'(x) збігається з початковою функцією, відповідь правильна.

Приклади

• Знайти первісну для f(x)=3x^2 — спочатку впізнаємо степеневу функцію; застосовуємо правило: ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1); отже ∫3x^2 dx = 3·x^3/3 = x^3; додаємо +C, маємо F(x)=x^3+C. Діти часто думають, що треба “просто додати 1” і написати 3x^3, але правильніше ще й поділити на новий степінь.
• Знайти первісну для f(x)=5x^4-2x+7 — це сума/різниця, тому інтегруємо по частинах: ∫5x^4 dx = 5·x^5/5 = x^5; ∫(-2x) dx = -2·x^2/2 = -x^2; ∫7 dx = 7x; додаємо +C. Висновок: F(x)=x^5-x^2+7x+C.
• Знайти первісну для f(x)=sin x — згадуємо стандартну формулу: похідна (-cos x) дорівнює sin x, тому первісна для sin x — це -cos x; не забуваємо +C: F(x)=-cos x + C. Діти часто плутають і пишуть cos x, але тоді похідна буде -sin x, а це інша функція.
• Знайти первісну для f(x)=cos x — тут навпаки: похідна sin x дорівнює cos x, тому ∫cos x dx = sin x; додаємо +C: F(x)=sin x + C.
• Знайти первісну для f(x)=2e^x-4 — використовуємо, що ∫e^x dx = e^x; коефіцієнт 2 лишається попереду: ∫2e^x dx = 2e^x; для -4: ∫(-4) dx = -4x; додаємо +C. Отже F(x)=2e^x-4x+C. Діти часто забувають, що число -4 теж інтегрується і перетворюється на -4x.

Стратегії для тренування

• Після кожної відповіді роби коротку перевірку похідною (хоча б усно для простих виразів).
• Тренуй “впізнавання” типу: степенева, тригонометрична, показникова — це економить час на ЗНО/НМТ.
• Виписуй собі 8–10 базових формул первісних і повторюй їх щодня 2–3 хвилини.
• Окремо потренуй уважність: знаки “мінус”, дроби, степені та винесення коефіцієнта.

Самоперевірка

• Чи визначив(ла) я тип кожного доданка у виразі (степінь, sin/cos, e^x, константа)?
• Чи правильно я збільшив(ла) показник степеня на 1 і поділив(ла) на новий показник?
• Чи не загубив(ла) мінус або коефіцієнт перед функцією?
• Чи дописав(ла) я +C в кінці?
• Чи збігається похідна моєї відповіді з початковою функцією?

Уміння швидко знаходити первісну — це “ключ” до багатьох завдань ЗНО/НМТ: від простих формул до задач, де треба відновити функцію за похідною або правильно порівняти варіанти відповідей.

Чим більше ти тренуєшся, тим частіше починаєш упізнавати типові шаблони з першого погляду. А це означає менше помилок через поспіх і більше впевненості на тесті.