Як знайти розв’язання

1. Перевір, чи це арифметична прогресія. Подивися, чи різниця між сусідніми членами однакова: a2−a1, a3−a2, a4−a3… Якщо різниця стала — це вона.
2. Запиши, що відомо і що треба знайти. Познач перший член a1, різницю d, номер n, потрібний член an або суму S_n. Не плутай n (номер члена) і n−1 (скільки разів додаємо d).
3. Обери правильну формулу. Для n-го члена: a_n=a₁+(n−1)d. Для суми: S_n=(a₁+a_n)·n/2 або S_n=(2a₁+(n−1)d)·n/2.
4. Обчисли акуратно й перевір логікою. Після відповіді швидко прикинь: якщо d додатне — члени мають зростати; якщо d від’ємне — спадати. Перевір знак d і підстановку n.

Приклади

• Послідовність: 3, 7, 11, 15, … — Спочатку перевіряємо різницю: 7−3=4, 11−7=4, 15−11=4, отже d=4. Перший член a₁=3. Якщо треба, наприклад, a₆, то a₆=3+(6−1)·4=3+20=23.
• Дано: a₁=−2, d=5. Знайти a₁₀ — Користуємось формулою a_n=a₁+(n−1)d. Маємо a₁₀=−2+(10−1)·5=−2+45=43. Діти часто думають, що треба множити d на n, але правильніше на (n−1), бо від першого до десятого члена є 9 кроків.
• Дано: a₃=12, a₇=28. Знайти d і a₁ — Між 3-м і 7-м членом 4 кроки, тому a₇−a₃=4d. Отже 28−12=16=4d, звідси d=4. Далі a₃=a₁+2d, тобто 12=a₁+8, тому a₁=4.
• Знайти S₂₀, якщо a₁=1, d=3 — Спочатку зручно знайти a₂₀: a₂₀=1+(20−1)·3=1+57=58. Тепер сума: S₂₀=(a₁+a₂₀)·20/2=(1+58)·10=590. Діти часто ділять не на 2, а на 20, але у формулі завжди є “/2”, бо ми усереднюємо перший і останній член.
• У прогресії a_n=50, a₁=2, d=4. Знайти n — Пишемо: 50=2+(n−1)·4. Тоді 48=4(n−1), отже n−1=12 і n=13. Перевірка: 2+12·4=2+48=50 — підходить.
• Послідовність: 10, 6, 2, −2, … Знайти a₈ — Різниця стала: 6−10=−4, 2−6=−4, отже d=−4, a₁=10. Тоді a₈=10+(8−1)·(−4)=10−28=−18. Діти часто “гублять” мінус у d, але правильніше одразу записати d=−4 і підставляти зі знаком.

Стратегії для тренування

• Після кожного завдання роби мініперевірку: обчисли різницю між сусідніми членами, щоб переконатися, що прогресія “складається”.
• Тренуйся швидко переходити від a₁, d до a_n, а потім до S_n: спочатку знаходь останній член, тоді суму.
• Розв’язуй задачі “навпаки”: коли відомі a_k і a_m, знаходь d та a₁, а потім перевіряй підстановкою.
• Завжди виписуй формулу перед підстановкою чисел — так менше шансів переплутати n і n−1 або знак d.

Самоперевірка

• Чи перевірив(ла) ти, що різниця між сусідніми членами стала?
• Чи правильно визначив(ла), що саме треба знайти: a_n, d, n чи S_n?
• Коли шукав(ла) a_n, чи використав(ла) саме (n−1), а не n?
• Якщо знаходив(ла) суму, чи не забув(ла) поділити на 2 у формулі?
• Чи перевірив(ла) знак d і логіку відповіді (зростає/спадає послідовність)?

Уміння працювати з арифметичною прогресією — це про швидкі й точні кроки: впізнати послідовність, вибрати формулу, правильно підставити та перевірити результат. Саме так будуються багато завдань ЗНО/НМТ, де час і уважність вирішують усе.

Коли ти доводиш ці дії до автоматизму, формули перестають бути “страшними”, а стають зручним інструментом: можна впевнено знаходити члени, суми та відновлювати прогресію за кількома даними.